A.P.C. 楽天で買う
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◇◆男女兼用のブランド◆◇
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| Q | 高校数学の質問です。関数か図形かよくわかりませんが…よろしくお願いします(^^;Oを中心とする半径1の円周上に、相異なる3定点A,B,Cを∠AOB=∠BOC=π/3を満たすようにとる。また、点Pは円周上の弧ACのうち点Bを含まない方の弧(2点A,Cで分割されてできる2つの円弧のうち、点Bを含まない方)の上を動く。ただし、P≠A、P≠Cとする。三角形ABP、三角形BCPの面積をそれぞれS、Tとするとき、S-Tの最大値を求めよ。 |
| A | 座標平面を導入して、A(1,0),B(1/2,√3/2),C(-1/2,√3/2)としても、一般性は失われない。また、ベクトルABを<AB>で表すことにする。いま、点Pと半直線OAとのなす角をθとすると、P(cosθ,sinθ)と表せる。但し題意より、2π/3<θ<2πである。このとき<AP>=(cosθ-1,sinθ)<BP>=(cosθ-1/2,sinθ-√3/2)<CP>=(cosθ-1/2,sinθ+√3/2)となる。よってS=(1/2)|(cosθ-1)(sinθ-√3/2)-(sinθ)(cosθ-1/2)|=(1/4)|-√3cosθ-sinθ+√3|ここで-√3cosθ-sinθ=2sin(θ-2π/3) であり、2π/3<θ<2πより-√3<2sin(θ-2π/3)<=2よって-√3cosθ-sinθ+√3>0なのでS=(-1/4)(√3cosθ+sinθ-√3)同様にT=(1/2)|(cosθ-1/2)(sinθ+√3/2)-(sinθ-√3/2)(cosθ-1/2)|=(1/4)|-2sinθ+√3|2π/3<θ<2πより、-2<=-2sinθ<1よってT=(-1/4)(2sinθ-√3)以上よりS-T=(-1/4)(√3cosθ-sinθ)=(1/2)sin(θ-π/3)よってS-Tを最大化するには、2π/3<θ<2πにおいてsin(θ-π/3)を最大化すれば良い。すなわちθ=5π/6のときで、このときの最大値は1/2である。いかがでしょうか。途中計算をかなり省略していますので、ご不明な点があれば仰ってください。 |
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